یکی از مفاهیم پایه‌ای و مهم در ریاضیات و پیش نیاز آموزش مباحثی چون مشتق و انتگرال، مفهوم حد و پیوستگی است. بدون داشتن درک درستی از مفهوم مشتق، آموزش انتگرال برای شما نامفهوم خواهد بود و بدون آگاهی از مفهوم حد، درک مشتق نیز غیر ممکن خواهد شد. همه این مفاهیم در حساب انتگرال قرار می گیرند و همچون حلقه‌های یک زنجیر به هم وابسته و در هم تنیده هستند.
در این مقاله قصد داریم مفهوم حد و پیوستگی و همسایگی را با ارائه 1 یا 2 مثال به طور کامل بیان کنیم. کلیه دانش آموزان کنکوری و علاقه مند به مباحث ریاضی قادرند در این وب سایت مطالب آموزشی را در قالب ویدئوها، مقالات و جزوات آموزشی مشاهده نموده و به صورت پایه ای و اصولی فرا بگیرند.
آموزش حد و پیوستگی به همراه چند مثال پرکاربرد
در ادامه بررسی مفهوم حد و پیوستگی، به بیان دقیق تر تعریف حد و کاربرد آن خواهیم پرداخت. در ابتدا بهتر است با تعریف همسایگی بیشتر آشنا شویم. اگر x0 یک عدد حقیقی باشد، هر بازه (a,b) که این نقطه را شامل شود به عنوان همسایگی آن شناخته خواهد شد. اگر از بازه بالا خود نقطه x0 را حذف کنیم، همسایگی را محذوف نامگذاری می‌کنند.
حال اگر تابع f در همسایگی محذوف c یا خود c تعریف شده باشد، حد تابع f(x) زمانی که x به c نزدیک شود برابر L است. بر این اساس، مفهوم حد را به این صورت بیان می کنیم: چنانچه متغیر x به عدد c بسیار نزدیک شود، تابع f(x) به L نزدیک خواهد شد. حد، رفتار یک تابع را در نزدیکی نقاطی با مختصات خاص یا در بینهایت مورد بررسی قرار داده و بیان می کند. در ریاضی حد را با lim نشان می دهند. حد می تواند جواب صحیحی داشته باشد حتی اگر تابع f(x) در نقطه C تعریف شده نباشد. در واقع X در حد، به مقدار C میل می کند و شاید هرگز به آن نرسد.
برای درک بهتر موضوع مثالی می زنیم. فرض کنید تابع f(x) به شکل زیر تعریف شده باشد:
و ما بخواهیم حد این تابع را در نقطه x=1 مورد بررسی قرار دهیم. واضح است که تابع فوق در x=1 تعریف شده نیست. در حد، ما قصد داریم تابع را تا حد ممکن به یک نزدیک کنیم. در این صورت حد تابع فوق زمانی که x به سمت یک میل می کند به این شکل به دست خواهد آمد:
مفهوم حد در بینهایت
به منظور آشنایی بیشتر با مفهوم حد و پیوستگی بد نیست با حد در بینهایت نیز آشنا شوید. توابع نه تنها در مقادیر مشخص و معین که در بینهایت نیز قابل تعریف هستند. محاسبه حد در بینهایت یعنی مقدار تابع را زمانی که متغیر به سمت مثبت یا منفی بینهایت میل می کند به دست آوریم.
حد در بینهایت به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
محاسبه حد در بینهایت بر اساس قواعد و اصولی انجام پذیر است که در ادامه به بررسی آنها خواهیم پرداخت.
محاسبه حد در بینهایت برای توابع کسری
در عبارات کسری که متغیر x در مخرج بوده و توان r یک عدد گویای مثبت است، رابطه زیر برقرار می باشد:
محاسبه حد در بینهایت در چند جمله ای ها
در عبارات جبری و چند جمله‌ای‌ها، برای محاسبه حد در بینهایت تا حد ممکن عبارت را ساده کرده و به دو یا چند جمله‌ای‌های ضرب شده در هم تبدیل می‌کنیم. در محاسبه حد برای عبارات جبری معمولا با نتایجی چون ∞+∞ یا ∞-∞ یا ∞/∞ یا ∞/∞- مواجه خواهید شد. تمامی این نتایج مبهم هستند و میبایست رفع ابهام شوند. برای این منظور تا حد ممکن چند جمله‌ای‌ها را به کمک قوانین ریاضی ساده می‌کنیم. به عنوان مثال فرض کنید قصد داریم حد چند جمله‌ای زیر را زمانی که متغیر x به سمت ∞ میل می‌کند محاسبه کنیم.
با قرار دادن ∞ به جای متغیر x به نتیجه ∞/∞ دست خواهیم یافت که یک عبارت مبهم است. پس برای رفع ابهام سعی می‌کنیم متغیر x را از مخرج کسر حذف کنیم. پس عبارت فوق را با فاکتورگیری توان چهار x ساده‌تر کرده و به شکل زیر تبدیل می‌کنیم:
با توجه به آنکه حد در بینهایت در توابع کسری برابر با صفر است، با جایگذاری این مقدار در تابع به رابطه زیر دست پیدا خواهیم کرد:
همانطور که ملاحظه می‌کنید با استفاده از قوانین ریاضی عبارات چند جمله‌ای را ساده و حد آن را رفع ابهام کرده و در نهایت به پاسخ نهایی دست پیدا کردیم.
یک روش ساده و سریع برای حل حد بینهایت برای توابع کسری، استفاده از قانون بیشترین توان است. در این روش بزرگترین توان x را در صورت و مخرج نگه داشته و از بقیه چشم‌پوشی می‌کنیم. در مثال بالا، این قانون را برای حد در بینهایت به کار می‌بندیم:
نکته قابل توجه در مورد چند جمله‌ای‌ها این است که برای برخی از توابع، حد در بینهایت مثبت با پاسخ حد در بینهایت منفی متفاوت خواهد بود. این مساله در مورد توابع رادیکالی و قدر مطلق بیشتر صادق است.
مجانب افقی
در مفهوم حد و پیوستگی، از حد در بینهایت برای محاسبه مجانب افقی تابع استفاده می‌شود.
حد بینهایت
مبحث دیگر در آشنایی با مفهوم حد و پیوستگی، حد بینهایت است. زمانی که مقدار حد در یک نقطه مشخص برابر با مثبت یا منفی بینهایت می شود به آن حد بینهایت گویند. در واقع حد می‌تواند رفتار تابع را در بینهایت نیز مورد بررسی قرار داده و تعیین نماید. مثال‌هایی از این نوع تابع در ادامه آورده شده‌اند:
توابع کسری: چنانچه حد به ریشه x در مخرج میل کند، مخرج کسر به صفر میل کرده و حد تابع بینهایت خواهد شد. البته در صورتی که نتیجه حد از چپ و راست یکسان شود.
به عنوان مثال:
مجانب عمودی
در مفهوم حد و پیوستگی، از حد بینهایت برای محاسبه مجانب عمودی تابع استفاده می شود.
تعریف پیوستگی
در ادامه بررسی مفهوم حد و پیوستگی و پس از آشنایی با مفهوم حد و قضایای آن، به سراغ مبحث پیوستگی می رویم. در ریاضی، تابع f(x) در نقطه x=a پیوسته است در صورتی که شرط اصلی و مهم زیر را به طور همزمان داشته باشد:
تابع ، در نقطه مورد نظر دارای حد بوده و حد چپ و راست آن با هم برابر باشند. این عبارت به این معنا است که تابع در نقطه مورد نظر حد داشته باشد. lim f(x) = f(a)
برای درک بهتر موضوع یک مثال می‌زنیم.
فرض کنید تابع h(x) دو ضابطه ای بوده و به صورت زیر تعریف شده و قصد داریم پیوستگی آن را در نقطه x=1 مورد بررسی قرار دهیم.
حد راست این تابع در نقطه x=1 برابر با یک و حد چپ آن برابر با 2 است. تابع h(x) به صورت زیر رسم می شود:
بنابراین تابع فوق در نقطه x=1 دارای حد نبوده و لذا پیوسته نیست.
معرفی توابع پیوسته
توابعی که در ادامه به شما معرفی خواهیم کرد پیوسته هستند:
- تابع ex و چند جمله ای ها به ازای تمامی مقادیر x پیوسته هستند.
- Ln x به ازای x > 0 پیوسته است.
- توابع کسری به ازای تمامی مقادیر x که مخرج را صفر نمی کنند، پیوسته هستند.
- پیوستگی توابع رادیکالی با اندیس فرد به ازای تمامی مقادیر x و با اندیس زوج به ازای x > = 0 پیوسته اند.
- توابع مثلثاتی sin x و cos x به ازای تمامی مقادیر x پیوسته اند.
- توابع مثلثاتی tan x و sec x به شرط زیر پیوسته اند.
- توابع مثلثاتی cot x و csc x به شرط زیر پیوسته اند.
آموزش حد و پیوستگی را لذت بخش تر تجربه کنید
با توجه به آنکه درک عمیق و آموزش دقیق مفهوم حد و پیوستگی در ریاضی اهمیت زیادی دارد، یادگیری اصولی این مبحث پایه ای، بسیار مهم می باشد. به دلیل ارتباط تنگاتنگی که بین این مفهوم و مفاهیمی چون مشتق، انتگرال و … وجود دارد، در یادگیری این مبحث می بایست از اساتید با تجربه کمک گرفت. مفاهیم ریاضی به هیچ وجه حفظی نبوده و کاملا ادراکی هستند. با درک پایه‌ای این مباحث، دانش آموزان در کنکور و دانشگاه نیز به موفقیت های قابل ملاحظه‌ای دست خواهند یافت.
حضور در دوره‌ها و کلاس‌های آموزشی استاد حسین حسن زاد پیشنهاد ما به شماست. چرا که همراهی با این استاد و وب سایت آموزشی او، امکان بهره مندی از فیلم ها و جزوات پر بار و ارزشمندی را برای دانش آموزان فراهم خواهد آورد. علاوه بر آن، بهره بردن از پشتیبانی و همراهی شبانه روزی کارشناسان خبره و دلسوز این مجموعه شامل حال دانش آموزانی خواهد شد که با این گروه آموزشی همراه شده اند.
با دنبال کردن ویدیوهای آموزشی، شرکت در آزمون های هفتگی و انجام دقیق و به موقع تکالیف روزانه خود، آموزش درس ریاضی و مفهوم حد و پیوستگی برای شما لذت بخش تر خواهد شد. علاوه بر آن یا صرفه جویی در زمان خود و بدون نیاز به خروج از خانه، در رقابت کنکور از رقیبانتان پیشی می گیرید.
