تعریف معادله و دانش لازم برای آن

اگر جزء آن دسته از علاقه‌مندان به علم شیرین ریاضی هستید که دربه‌در به دنبال تعریف معادله و یادگیری سیر تا پیاز این مبحث به دردبخور می‌گردید، جای خوبی آمده‌اید. ما در این مطلب قصد داریم شما را با صفر تا صد معادله و انواع آن مثل معادله درجه دو آشنا نموده و داغ‌ترین و کارآمدترین روش‌های حل معادلات ریاضی را برایتان شرح دهیم. حقیقتا اگر از معادله سر در نیاورید و روش های حل آن را نیاموزید، هیچگاه نمی توانید مدعی شوید که در این علم بی انتها خبره اید. پس این مطلب مفید را به هیچ قیمتی از دست ندهید که حسابی ضرر خواهید کرد!

تعریف معادله به زبان ساده!

اگر بخواهیم خیلی ساده و صریح خدمتتان عرض کنیم، معادله یک گزاره ریاضی است که از دو عبارت جبری دارای مقادیر یکسان تشکیل شده است. یکسان بودن مقدار این گزاره ها موجب شده که بین آن ها نماد مساوی (=) قرار بگیرد. می دانید عبارت جبری چیست؟

عبارت جبری عبارتی است که از انجام اَعمال ریاضی نظیر جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و… بین متغیرهایی همچون x و y حاصل می گردد. این عبارت ها گاه در بردارنده یک متغیر بوده و گاه تعداد بیشتری از متغیرها را در خود جای می دهند. البته یکی از طرفین معادله می تواند فاقد متغیر بوده و به اصطلاح جبری نباشد. اگر عبارتی فاقد متغیر باشد، در علم ریاضی از آن تحت عنوان عبارت ثابت (عدد ثابت) یاد می کنند. ابتدایی ترین و ساده ترین معادلات جبری ریاضیات یک متغیر را در بر می گیرند. به مثال زیر دقت کنید:

4x + 7 = 27

در معادله فوق که معادله ای ساده شامل یک متغیر (x) است، دو طرف به ازای مقدار مشخصی از x با هم برابرند. عملگر = به خوبی گویای این ماجراست. حال به نظر شما می توان گفت که مثال زیر یک معادله ریاضی است؟

5x + 7y – 3

تعریف معادله را به خاطر بیاورید. بر اساس این تعریف، معادله متشکل از دو عبارتی است که بین آن ها عملگر = قرار گرفته است. آیا در مثال فوق نشانی از عملگر مساوی می بینید؟! اصلا طرف دومی وجود دارد؟!

خیر. پس مثال فوق تنها یک عبارت جبری شامل متغیر x و y است. نه یک معادله!

اکنون که با تعریف معادله آشنا شدیم، وقت آن فرا رسیده که به بررسی مفهوم جواب معادله بپردازیم. کمی فکر کنید و بگویید که به نظر شما جواب معادله چیست؟! آیا پیدا کردن جواب یک معادله کار پیچیده و دشواری است؟!

آشنایی مختصر و مفید با جواب معادله

در تعریف معادله چنین گفتیم که دو طرف این گزاره ها به ازای مقادیر مشخصی از متغیرها با یکدیگر برابرند. به عبارت ساده تر و دقیق تر؛ مقادیری از متغیرها که موجبات برقراری رابطه برابری معادله را فراهم می سازند، جواب معادله نامیده می شوند. برای به دست آوردن جواب معادله کافیست اعداد ثابت را در یک طرف تساوی و متغیرها را در طرف دیگر جمع کنیم. سپس اعمال ریاضی را یکی پس از دیگری انجام داده و جواب نهایی را بیابیم. مایلید به اتفاق جواب معادله زیر را به دست آوریم؟!

4x + 7 = 27
4x = 27 – 7
x = 20/4
x = 5

بنابراین نتیجه می گیریم که دو طرف معادله به ازای x=5 با یکدیگر برابرند. پس جواب این معادله 5 است!
اگر فکر می کنید یافتن جواب معادله همواره همین قدر ساده است، سخت در اشتباهید! حقیقت این است که سخت یا دشوار بودن یافتن جواب معادله به نوع معادله بستگی دارد. بله؛ معادلات ریاضی انواع متعدد و متنوعی دارند و هر یک به گونه ای حل می شوند. دوست دارید به اختصار با انواع معادلات ریاضی آشنا شوید؟!

آشنایی با انواع معادله ریاضی

تا بدین جا با تعریف معادله و جواب آن آشنا شدیم. اکنون می خواهیم به معرفی انواع معادلات ریاضی پرداخته و پرکاربردترین روش های حل آن ها را بیاموزیم. معادلات را در ریاضیات به دو نوع خطی و غیر خطی تقسیم بندی می کنند. منظور از معادلات خطی معادلاتی است که متغیرهایشان دارای توان یک هستند. معادلاتی که تا بدین جا درباره آن ها صحبت کرده و به حلشان پرداختیم، از نوع خطی محسوب می شوند.
در سوی مقابلِ معادلات خطی، معادلات غیر خطی قرار دارند که توان متغیرهایشان بیشتر از یک است. معادلات زیر نمونه هایی بارز از معادلات غیرخطی می باشند:

5x² + 3x + 3 = 0
x³ + 10x² + 31x + 30 = 0

معرفی معادله چند جمله‌ای

یک چند جمله ای عبارتی متشکل از اعداد ثابت، متغیرها و توان ها می باشد. البته وجود همه این موارد به صورت یک جا در یک چند جمله ای اجباری نیست! چند جمله ای ها با استفاده از عملگرهای ریاضی نظیر جمع و تفریق با یکدیگر ترکیب می شوند. مثال زیر یک معادله چند جمله ای را نشان می دهد:

5xy² – 3x + 5y³ – 3 = 0
فرم عمومی این معادلات به صورت زیر است:
P(x) = 0

P در این جا یک چند جمله ای بر حسب متغیر x می باشد.

معرفی معادله درجه اول

بیشترین توان متغیرهای موجود در معادله درجه اول که آن را تحت عنوان معادله خطی نیز نامگذاری می کنند، یک است. اگر جویای فرم کلی این معادلات هستید، باید خدمتتان عرض کنیم که به صورت زیر است:

ax + b = 0

بر اساس تعریف معادله درجه اول، معادلات زیر از این نوع هستند:

12x – 10 = 0
12x + 10y -10 = 0

معرفی معادله درجه دو

در علم ریاضیات معادله درجه دو را تحت عنوان معادله مربعی نیز می شناسند. در تعریف معادله درجه دو چنین آمده است:

معادله درجه دو یا مربعی معادله ای چند جمله ای می باشد که بزرگترین توان متغیرهای موجود در آن دو است. شکل کلی این معادلات به صورت زیر می باشد:

ax² + bx + c = 0
3x² – 11x + 6 = 0

معادله سهمی و رأس آن

اگر بخواهیم نمودار معادلات درجه دو را رسم کنیم، شکل نهایی به صورت یک سهمی خواهد بود. درست مانند تصویر زیر:

اگر در معادله درجه دوم به جای صفر، y قرار دهیم؛ معادله سهمی به دست می آید:

y = ax² + bx +c

مهم ترین مشخصه ای که یک سهمی دارد، رأس آن است. رأس سهمی که با حرف s نمایش داده می شود، نقطه ای از نمودار معادله درجه دو می باشد که تمام نمودار نسبت به آن متقارن است. همان طور که اشاره کردیم، رأس سهمی یک نقطه است. در این که هر نقطه موجود بر روی نمودار x-y دارای طول و عرضی مشخص است، هیچ شکی نیست. برای به دست آوردن مختصات رأس سهمی، کافیست طول نقطه s را با استفاده از معادله سهمی و بر اساس فرمول های زیر به دست آوریم:

پس از به دست آوردن طول رأس سهمی یا همان ، آن را به جای x های موجود در معادله سهمی جایگذاری نموده و مقداری را که برای y به دست می آید، به عنوان  در نظر می گیریم.

روش های حل درجه 2

جالب و در عین حال لازم است بدانید که روش های حل معادله درجه دو بسیار متعدد و متنوعند. از روش مربع کامل گرفته تا تجزیه، ریشه گیری، فرمول دلتا و … .
فرمول دلتا یکی از کارآمدترین و قوی ترین روش های حل معادلات درجه دو است که حیف است جایش در این آموزشِ جامع، خالی باشد.

حل معادلات درجه دو با فرمول دلتا

هدف از حل معادله درجه دو به روش دلتا، به دست آوردن x هایی است که در معادله درجه دو موجود صدق کرده و باعث تساوی طرفین می شوند. گفتنی است که عُشاق علم ریاضی x های به دست آمده با فرمول دلتا را تحت عنوان ریشه های معادله درجه دو می شناسند.

برای حل معادله درجه دو به روش دلتا می بایست نخست معادله موجود را به شکل استاندارد یک معادله درجه دوم تبدیل نماییم. یعنی توان ها را از بزرگ به کوچک و به صورت نزولی مرتب کنیم.
در این معادله a ضریب ، b ضریب x و c یک عدد ثابت است. پس از این که معادله را به این فرم مرتب نمودیم، فرمول دلتا را پیاده سازی و مقدار دلتا را به دست می آوریم:

b² – 4ac

پس از محاسبه مقدار دلتا ممکن است سه حالت مختلف زیر رخ دهد:

حالت اول : دلتا مثبت شود

اگر حاصل دلتا یک عدد مثبت باشد، نتیجه می گیریم که معادله درجه دو مورد نظرمان دارای دو ریشه حقیقی متمایز می باشد.

حالت دوم : دلتا صفر شود

اگر حاصل دلتا صفر شود، نتیجه می گیریم که معادله درجه دو مورد نظرمان تنها یک ریشه مضاعف (تکراری) دارد.

حالت سوم : دلتا منفی شود

در صورتی که حاصل دلتا منفی باشد، نتیجه می گیریم که معادله درجه دو مورد نظرمان فاقد ریشه حقیقی است.

معرفی معادله درجه سه

تعریف معادله درجه سه که با نام معادله مکعبی نیز شناخته می شود، به صورت زیر است:
معادله درجه سه یک معادله چند جمله ای است که بزرگ ترین توان متغیرهای موجود در آن سه می باشد. شکل استاندارد این معادلات به صورت زیر است:

ax³ + bx² + cx + d = 0

معرفی معادلات مثلثاتی

در تعریف معادله مثلثاتی می‌توان گفت:
این معادلات دربردارنده توابع مثلثاتی بوده و گاه آنقدر پیچیده اند که حل آن ها تنها از طریق محاسبات کامپیوتری امکان پذیر است. معادله زیر یک معادله مثلثاتی است:

sin²x + cos2x = 0

معرفی معادلات رادیکالی

معادله رادیکالی به دسته ای از معادلات ریاضی اطلاق می گردد که در آن ها متغیر یا عبارت شامل متغیر زیر رادیکال قرار می گیرد. جالب است بدانید که این معادلات فاقد فرم کلی هستند!

معرفی معادلات نمایی

معادلات نمایی معادلاتی هستند که توان آن ها یک متغیر است، نه یک عدد. معادله‌ی زیر، یکی از شکل های معادله نمایی است:

ab^x = c

استاد حسن زاد، برای راحتی و آسایش شما دانش آموزان عزیز پکیج کامل کنکور را ضبط و تهیه کرده است. همچنین می‌توانید ویدیو های هر مبحث را به صورت رایگان مشاهده کنید و نگران کنکور و امتحان نهایی خود نباشید.

{ ویدیوهای رایگان مبحث معادله درجه دو }