تشخیص تابع بودن و انواع آن

تابع یا در اصطلاح لاتین (Function) یک قاعده، عبارت یا قانون است که ارتباط بین یک متغیر مستقل و یک متغیر وابسته را به تصویر می‌کشد. به عبارت دیگر، انواع تابع تعریف می‌شوند تا رابطه بین یک مجموعه از مقادیر ورودی و مجموعه‌ای از مقادیر خروجی را نمایش دهند. در نمادگذاری ریاضی، تابع با حرف f نمایش داده می‌شود. در اینجا در رابطه با تشخیص توابع و ترکیب آنها صحبت خواهیم کرد. برای یادگیری می‌توانید ویدیوهای رایگان آموزش تابع را مشاهده کنید.

تابع نمونه زیر را در نظر بگیرید:      f(x) = x²
در اینجا، x متغیر مستقل است که مقادیر ورودی تابع را مشخص می‌کند. با قرار دادن هر مقدار x، مقدار خروجی متناظر با f(x) به دست می‌آید. به عنوان مثال:

f(1) = 1² =1
f(2) = 2² =4

 توابع ریاضی انواع مختلفی دارند، از جمله توابع جبری، یک‌جمله‌ای، توانی، درجه دو، زوج و صعودی. در ادامه، با تقسیم‌بندی‌ها و فرم‌های کلی انواع تابع ریاضی بیشتر آشنا خواهیم شد.

آشنایی با انواع تابع

انواع تابع بسیار متنوع هستند و می‌توان آن‌ها را از جنبه‌های مختلف تقسیم‌بندی کرد، که در ادامه به آن‌ها اشاره خواهد شد:

انواع تابع بر اساس فرم معادله

1_ تابع همانی : تابعی است که به هر مقدار x در دامنه تابع، یک مقدار x را به عنوان خروجی می‌دهد. به عبارت دیگر، f(x) = x برای هر مقدار x در دامنه تابع، برقرار است.
مثال : f(x) = x

2_ تابع چند جمله‌ای : تابعی است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

         f(x) = a0 + a1x + a2x² + … + anxⁿ

که در آن a0، a1، a2، …، an اعداد حقیقی هستند و n یک عدد طبیعی است.

3_ تابع صفر : تابعی است که به ازای هر مقدار x در دامنه تابع، مقدار 0 را به عنوان خروجی می‌دهد. به عبارت دیگر، f(x) = 0 برای هر مقدار x در دامنه تابع، برقرار است.

4_ تابع خطی : یکی از انواع تابع است و به صورت زیر تعریف می‌شود:

                         f(x) = ax + b

که در آن a و b اعداد حقیقی هستند.

5_ تابع درجه 2 : تابع مربعی، تابعی است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = ax² + bx + c

که در آن a، b و c اعداد حقیقی هستند.

6_ تابع درجه 3 : تابع مکعبی در واقع یکی از انواع تابع است که، به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

که در آن a، b، c و d اعداد حقیقی هستند.

انواع تابع بر اساس رابطه بین دامنه و برد

تابع یک به یک

هر مقدار در دامنه با یک و تنها یک مقدار در برد رابطه دارد. این نوع از انواع تابع، خروجی‌های متفاوتی دارند.

f(x) = x-4 : مثال

تابع چند به یک

در این نمونه از انواع تابع، یک یا چند مقدار در دامنه تنها با یک مقدار در برد رابطه دارد. توابعی که چند به یک هستند، برخلاف توابع یک به یک، می‌توانند خروجی تکراری داشته باشند. توابع چند به یک انواع گوناگونی دارند و از جمله معروف‌ترین انواع آن، می‌توان به توابع ثابت و توابع پوشا اشاره داشت.

f(x) = x² – 1 : مثال

تابع پوشا

این تابع یکی از انواع تابع چند به یک است و در آن، هر مقدار در دامنه با حداقل یک مقدار در برد رابطه دارد.

f(x) = x² : مثال

تابع یک به یک و پوشا

این تابع ترکیبی از توابع یک به یک و پوشا می‌باشد و در آن به ازای هر مقدار در دامنه، یک و تنها یک مقدار در برد وجود دارد.

تابع غیر پوشا

در این نوع از انواع تابع، هر یک از مقادیر موجود در دامنه، تنها به یکی از مقادیر موجود در برد وصل می‌گردد و یک یا چند مقدار در برد وجود دارد که با هیچ یک از مقادیر موجود در مجموعه دامنه رابطه ندارد.

|f(x) = |x : مثال

تابع ثابت

این تابع یکی از انواع تابع خاص در ریاضی است که در آن، مقدار ورودی تاثیری بر مقدار خروجی ندارد. به عبارت دیگر برد این تابع همواره مقدار ثابتی را شامل می‌شود.

f(x) = π : مثال

انواع تابع بر اساس دامنه

توابع جبری

توابعی هستند که با استفاده از اعداد، عملگرهای جبری و عملگرهای اصلی ساخته می‌شوند. عملگرهای جبری شامل عملگرهای جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان و ریشه هستند. عملگرهای اصلی نیز شامل عملگرهای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم هستند. نمونه‌هایی از توابع جبری عبارتند از:

f(x) = x²
f(x) = 3x + 2
f(x) = (x – 1)(x + 2)
f(x) = √x

توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی نمونه‌ای از انواع تابع هستند که، با استفاده از مقادیر سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت تشکیل می‌شوند. نمونه‌هایی از توابع مثلثاتی عبارتند از:

f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tan(x)
f(x) = cot(x)

توابع نمایی

توابعی هستند که با بر اساس قاعده نمایی عمل می‌کنند. قاعده نمایی به صورت زیر است.

a × a × a × = a^x

که در آن a یک عدد غیر صفر و x یک عدد حقیقی است. نمونه‌هایی از انواع تابع نمایی عبارتند از:

f(x) = ex
f(x) = 2^x
f(x) = 1/2^x

توابع لگاریتمی

نوعی از انواع تابع هستند که، بر مبنای قاعده لگاریتمی ساخته می‌شوند. قاعده لگاریتمی به صورت زیر است:

log_a(x) = y

که در آن a یک عدد غیر صفر و مثبت، x یک عدد حقیقی مثبت و y یک عدد حقیقی است. نمونه‌هایی از توابع لگاریتمی عبارتند از:

f(x) = log(x)
f(x) = log_2(x)
f(x) = log_10(x)

علاوه بر این، انواع تابع دیگری نیز وجود دارند که می‌توان آن‌ها را با توجه به ویژگی‌های دیگر دسته‌بندی کرد. به عنوان مثال، توابع را می‌توان از نظر هم ارزش بودن، پیوستگی، مشتق‌پذیری و غیره تقسیم‌بندی کرد.

روش‌های تشخیص تابع

تشخیص تابع به معنای تعیین این است که، آیا یک رابطه بین دو مجموعه یک تابع است یا خیر. برای تشخیص تابع بودن یک رابطه، باید دو شرط زیر را بررسی کنیم:

• هم ‌ارزش بودن (یکنواختی): به ازای هر دو مقدار x1 و x2 که در دامنه تابع قرار دارند، اگر x1 = x2، پس f(x1) = f(x2) نیز برقرار است.
• یک به یک بودن: به ازای هر دو مقدار y1 و y2 در برد تابع، اگر f(x1) = y1 و f(x2) = y2، پس x1 = x2 نیز برقرار است.

اگر هر دو شرط هم ارزش بودن و یک به یک بودن برقرار باشند، آنگاه رابطه بین دو مجموعه، یک تابع است. در ادامه، روش‌های تشخیص تابع بودن یک رابطه را با جزئیات بیشتری شرح خواهیم داد:

استفاده از ضابطه تابع

اگر رابطه بین دو مجموعه با یک ضابطه جبری تعریف شده باشد، می‌توان با بررسی ضابطه، تشخیص داد که آیا رابطه یک تابع است یا خیر. به عنوان مثال، تابع f(x) = x² یک تابع است، زیرا این تابع بر مبنای ضابطه جبری x² تعریف شده است و شرط‌های یکنواختی و یک به یک بودن را دارا می‌باشد.

استفاده از نمودار انواع تابع

اگر رابطه بین دو مجموعه با یک نمودار نمایش داده شود، می‌توان با بررسی نمودار، تشخیص داد که آیا رابطه یک تابع است یا خیر. به عنوان مثال، تابع f(x) = x² یک تابع است، زیرا نمودار این تابع یک منحنی پیوسته است که از هر نقطه آن تنها یک خط عمود می‌توان رسم کرد.

استفاده از مثال نقض

اگر بتوان یک مثال یافت که شرط‌های یک به یک یا هم ارزش بودن را نقض کند، آنگاه رابطه بین دو مجموعه یک تابع نیست. به عنوان مثال، رابطه f(x) = |x| یک تابع نیست، زیرا شرط یکنواختی را نقض می‌کند. به عنوان مثال، x1 = 0 و x2 = 1 دو مقدار در دامنه تابع هستند که f(x1) = 0 و f(x2) = 1 هستند، اما x1 ≠ x2.

در نهایت، باید توجه داشت که تشخیص تابع بودن یک رابطه همیشه آسان نیست و ممکن است نیاز به استفاده از روش‌های مختلف باشد.

آشنایی با مفهوم برد، دامنه و هم دامنه

دامنه : در ریاضیات دامنه یک تابع، مجموعه‌ای از مقادیری است که به عنوان ورودی به انواع تابع داده می‌شوند. دامنه تابع باید مجموعه‌ای باشد که، ضابطه تابع بر روی آن تعریف شده باشد. به عنوان مثال، ضابطه تابع f(x) = x² بر روی مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده است. بنابراین، دامنه تابع f(x) = x² مجموعه اعداد حقیقی است. در برخی موارد، دامنه یک تابع می‌تواند به طور صریح مشخص شود. به عنوان مثال، دامنه تابع f(x) = x² مجموعه اعداد حقیقی است. در برخی موارد دیگر، دامنه انواع تابع باید با استفاده از منطق استقرایی تعیین شود. به عنوان مثال، دامنه تابع f(x) = 1/x مجموعه اعداد حقیقی غیر صفر است.

برد و هم دامنه : در علم ریاضی، برد و هم ‌دامنه یک تابع مجموعه‌ای از مقادیری هستند که، می‌توان به عنوان خروجی از یک تابع به دست آورد. برد و هم‌دامنه تابع باید شامل مجموعه‌ای باشند که، ضابطه تابع بر روی آن تعریف گردیده است. به عنوان مثال، ضابطه تابع f(x) = x² در گستره مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده است. بنابراین، برد و هم دامنه تابع f(x) = x² مجموعه اعداد حقیقی مثبت را شامل می‌شود. در برخی موارد، این دو پارامتر به طور کاملاً مشخص قابل برآورد هستند اما، در برخی موارد خاص نیز می‌بایست با استفاده از منطق استقرایی تعیین گردند.

رابطه بین برد، دامنه و هم دامنه

در برخی موارد، برد و دامنه و هم دامنه یک تابع یکسان هستند. به عنوان مثال، دامنه، برد و هم‌دامنه تابع f(x) = x² مجموعه اعداد حقیقی مثبت است. در برخی موارد دیگر، برد و دامنه و هم دامنه یک تابع می‌توانند با یکدیگر متفاوت باشند. به عنوان نمونه، دامنه و برد تابع f(x) = 1/x مجموعه اعداد حقیقی غیر صفر است، اما هم ‌دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی مثبت غیر صفر را شامل می‌شود.

آشنایی با مفهوم ترکیب تابع و نکات پیرامون آن

ترکیب تابع یک عمل دوتایی است که دو تابع را به یک تابع جدید ترکیب می‌کند. این عمل به طور کلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

(fog)(x) = f(g(x))

که در آن f و g دو تابع هستند و x مقداری از دامنه تابع g است.

به عنوان مثال، اگر f(x) = x² و g(x) = x + 1، آنگاه

به منظور درک بهتر این مفهوم، در ادامه مثالی از ترکیب تابع را برای شما خواهیم آورد:

اگر f(x) = x² و g(x) = sin(x)، آنگاه sin²(x) = (f o g)(x)

خواص ترکیب تابع و کاربرد‌های آن

• ترکیب تابع، خود نیز یک تابع است.
• ترکیب تابع با ترتیب عمل‌ها تغییر می‌کند و با ترکیب تابع‌های دیگر قابل ترکیب است.

برای نشان دادن اینکه ترکیب تابع یک تابع است، باید نشان دهیم که ترکیب تابع یک به یک و هم‌ارزش است. ترکیب تابع کاربردهای زیادی در ریاضیات و علوم دارد. به عنوان مثال، از ترکیب انواع تابع برای حل معادلات و مسائل، بهینه‌سازی و مدل‌سازی سیستم‌ها، محاسبه احتمال وقوع رویدادهای ترکیبی و … استفاده می‌شود.