تابع لگاریتم یکی از توابع پرکاربرد در ریاضیات و محاسبات است. به همین دلیل آشنایی با این تابع، مشخصات، کاربرد و انواع آن اهمیت و جذابیت زیادی دارد. در این مقاله قصد داریم شما را با تعریف لگاریتم و اعداد، کاربرد و انواع این تابع بیشتر آشنا کنیم. اگر به مقالات و توابع ریاضی و آشنایی با نوع کاربرد آنها در زندگی روزمره خود علاقه مند هستید با ما تا پایان این مقاله همراه باشید.
لگاریتم چیست؟
تعریف لگاریتم به زبان ساده و خلاصه این است: لگاریتم، وارون عبارت نمایی است. دنباله نمایی، هر تابع یا مجموعه ای از اعداد توان‌دار است. یک جابجایی ساده در این تابع، لگاریتم را شکل خواهد داد. این تابع به صورت y=logax نمایش داده می شود. a مبنای لگاریتم است. اگر در مبنا ( زیر Log) عددی نوشته نشود به طور پیش فرض 10 در نظر گرفته می شود. به بیان دیگر اگر در حالت کلی تابع نمایی را به شکل x = by در نظر بگیریم در این صورت لگاریتم x در پایه b برابر با y یا y=logbx خواهد شد.
با یک مثال ساده، مطلب را برای شما روشن تر می سازیم. فرض کنید قصد داریم log(1000) را به دست آوریم. نبود عددی در بخش پایه لگاریتم یعنی این مبنا 10 در نظر گرفته شود. 1000 برابر است با 10 به توان 3؛ بنابراین log(1000)= log10103 بوده و پاسخ 3 خواهد شد. در واقع عدد 1000 از توان 3 عدد 10 یا سه بار ضرب متوالی عدد ده در خودش به دست خواهد آمد. در واقع لگاریتم به ما می‌گوید که عدد مبنا را چه تعداد در خودش ضرب کنیم تا عدد مقابل لگاریتم به دست آید.
آشنایی با انواع لگاریتم
وجود برخی مبناهای خاص در لگاریتم، باعث ایجاد قوانین و قواعد کلی در آن خواهد شد. آشنایی با انواع لگاریتم سرعت محاسبه شما را افزایش داده و به شما در ساده سازی و حل مسائل پیچیده یاری خواهند رساند. با آگاهی از این نوع لگاریتم ها رسیدن به جواب نهایی با سرعت و سهولت بیشتری همراه خواهد بود. در ادامه تعریف لگاریتم، برخی از توابع آن را مورد بررسی قرار خواهیم داد.
تابع لگاریتم طبیعی
نوعی از تابع لگاریتم وجود دارد که پایه آن را عدد اویلر، یعنی e تشکیل داده است. این عدد برابر با 71828/2 می باشد. تابع با این مبنا به لگاریتم طبیعی معروف بوده و به فرم و شکل f(x)=lnx نمایش داده می شود.
لگاریتم باینری یا دودویی
در علوم کامپیوتر، محاسبات و بانک های اطلاعاتی، لگاریتم در مبنای 2 بسیار پرکاربرد است. این کاربرد وسیع نوع خاصی از لگاریتم را شکل داده که به لگاریتم باینری یا دودویی معروف بوده و به صورت ld (x) یا lb (x) یا lg (x) نشان داده می شود.
ضرب در تابع لگاریتم
لگاریتم ضرب چند عدد با حاصل جمع لگاریتم های آنها در همان مبنا برابر است. به بیان دیگر:
Logb (xy) = Logb (x) + Logb (y)
تقسیم در لگاریتم
لگاریتم نسبت یا تقسیم دو عدد برابر با تفریق لگاریتم های آنها در همان مبنا است. به بیان دیگر:
Logb (x/y) = Logb (x) – Logb (y)
توان در تابع لگاریتم
لگاریتم توان p ام یک عدد برابر است با p برابر لگاریتم آن عدد در همان مبنا. یعنی:
Logb (xp) = p Logb (x)
لگاریتم ریشه یا جذر یک عدد
لگاریتم ریشه p ام یک عدد برابر است با لگاریتم آن عدد در همان مبنا تقسیم بر ریشه p، به عبارت دیگر:
Logb (p √x ) = Logb (x1/p) = 1/p Logb (x) = Logb (x)/ p
لگاریتم اعداد کسری یا اعشاری
برای حل لگاریتم اعداد کسری کافی است کسر آنها را به توان منفی تبدیل کرده و آن را حل کنید. مثلا:
Log2 (1/2) = Log2 (2-1) = -1
Log (0.001) = Log (1/1000) = Log (10-3) = -3
لگاریتم یک
لگاریتم یک در هر پایه ای برابر یا صفر است چرا که هر عدد به توان صفر برابر با یک می شود:
Logb (1) = 0 ———-> b0 = 1
لگاریتم عدد در پایه خودش
هر عدد به توان یک برابر با خود آن عدد می شود؛ بنابراین لگاریتم عدد در پایه خودش برابر با یک است:
b1 = b ———> Logb (b) = 1
نمودار تابع لگاریتم
با آنچه در مورد تعریف لگاریتم در اختیار شما قرار دادیم، حال زمان آن رسیده که با نمودار این تابع نیز آشنایی پیدا کنید. تابع لگاریتم f(x) = Logb (x) زمانی که مقادیر x بزرگتر یا مساوی یک باشد، همواره مثبت بوده و نمودار صعودی خواهد داشت. این در حالی است که این تابع برای مقادیر 0 < x < 1 سیر نزولی داشته و منفی است. این نکته در شکل زیر به وضوح قابل مشاهده خواهد بود.
آنچه از تعریف لگاریتم و نمودار این تابع می توان برداشت کرد این است که لگاریتم هر عدد از خود آن عدد کوچکتر است. به بیان دیگر لگاریتم مقیاس عدد را کوچکتر می کند. به همین دلیل برای نشان دادن اعداد بزرگ می توان از لگاریتم و تغییر مقیاس لگاریتمی آن کمک گرفت.
کاربرد لگاریتم
دنیای انسان ها، طبیعت و دیگر موجودات زنده به نوعی با تابع لگاریتم و مفاهیم آن در ارتباط بوده و به آنها گره خورده است. اگر با ارتباطی که بین جهان هستی و مفاهیم اعداد لگاریتمی وجود دارد پی ببرید از نظم خلقت و زیبایی های شگفت زده خواهید شد. کل دنیا بر اساس فرمول های زیبا، ساده و گاهی پیچیده ریاضی شکل گرفته که نشانگر نظم و قدرت خالق آن است. در ادامه تعریف لگاریتم، قصد داریم شما را با کاربردهای این تابع در زندگی روزمره بیشتر آشنا کنیم. پس اگر به شگفتی های این مفهوم در ریاضی علاقه مند هستید ادامه مطلب را از دست ندهید.
رشد و تکثیر
از تابع لگاریتم می توان برای به دست آوردن علت یا اثر یک عامل استفاده کرد. در این حالت می توان برای یک خروجی، ورودی ایده آل را پیدا کرد. از جمله اتفاقات تکرار شونده در هر سلول و حتی در زندگی ما انسان ها، می توان به رشد یا ترمیم سلولی اشاره کرد. پوسته بدن آبزی کمیابی به نام ناتیلوس بر مبنای یک مارپیچ لگاریتمی شکل گرفته و ایجاد شده است. این اتفاق در نوع چینش تخمه های گل آفتابگردان، بال های سنجاقک، تشکیل رگبرگ های درختان و … نیز اتفاق افتاده که همگی از نظم خیره کننده ای برخوردار هستند.
در محاسبه میزان سرمایه و سود اقتصادی تابع لگاریتمی کمک کننده خواهد بود. به عنوان مثال، میزان رشد سرمایه ای که در طی 3 سال از 200 میلیون به 280 میلیون رسیده است از فرمول زیر محاسبه خواهد شد:
%Ln (280/200)/3 = 11.2
در واقع طبق نتیجه این فرمول، نرخ بازدهی سرمایه در این سه سال برابر با 11.2 درصد بوده است. این گونه نتایج به کارفرمایان و صاحبان صنایع در داشتن برنامه ریزی های مالی دقیق یاری خواهند رساند.
ارتباط بین موسیقی و تابع لگاریتم
تابع لگاریتم در هنر موسیقی نیز بسیار پرکاربرد است. این تابع با دو مفهوم ارتفاع و فاصله در صداسازی ارتباط تنگاتنگی دارد. در استودیوهای ضبط صوت و موسیقی، اصطلاح دسی بل بسیار کاربرد داشته و در ضبط و افکت گذاری صدا مورد استفاده قرار می گیرد. این واحد پرکاربرد از یک روال محاسبه لگاریتمی به دست خواهد آمد.
کاربرد تابع لگاریتم در تشخیص زمین لرزه ها
همانگونه که در تعریف لگاریتم گفته شد، توابع لگاریتمی مقیاس رویداد ها و اعداد بزرگ را کوچک می کنند. یکی از این وقایع، زمین لرزه است. مقیاس ریشتر از نمونه توابع لگاریتمی است که ابعاد بزرگ زمین لرزه را کوچک کرده به عددی بین 0 الی 10 تبدیل می سازد.
کاربرد تابع لگاریتم در رنک صفحات گوگل یا PageRank گوگل
PageRank، امتیازی است که گوگل به هر صفحه می دهد. این امتیاز معیاری برای سنجش میزان بازدید و کیفیت صفحات یک وب سایت است. این معیار به کمک تابع لگاریتمی به دست خواهد آمد. با یک مثال ساده، شما را با مفهوم PageRank و ارتباط آن با توابع لگاریتمی بیشتر آشنا خواهیم کرد. اگر رتبه یک سایت 3 و دیگری 1 باشد به این معناست که سایت دارای رتبه سه 100 برابر بازدید و محبوبیت بیشتری در مقایسه با سایت رتبه یک دارد.
تعیین میزان PH در شیمی به کمک توابع لگاریتمی
PH معیاری برای نشان دادن میزان اسیدی یا قلیایی بودن مایعات در علم شیمی است. این معیار نیز در مقیاس لگاریتم تعیین و بیان شده و در بازه 0 تا 14 قرار می گیرد. مواد اسیدی دارای PH کمتر از هفت، مواد خنثی PH هفت و مواد قلیایی دارای PH در محدوده هفت تا چهارده هستند. متداول ترین و مورد قبول ترین مقدار PH از تابع لگاریتمی زیر به دست خواهد آمد: PH= – Log10 [H3O+]
در این مقاله سعی بر آن شد که تعریف لگاریتم را به صورت جامع و کامل به شما ارائه دهیم. برای آموزش لگاریتم و فرمول های مربوط به آن، مقالات آموزشی زیادی وجود دارند. با پی بردن به روابط زیادی که در این تابع پرکاربرد وجود دارد، به فوت و فن های حل مسئله به راحتی و به طور ذهنی پی خواهید برد.
کاربرد تابع لگاریتم در دنیای واقعی بسیار وسیع است. امکان پرداختن به همه این موارد در این مقاله وجود ندارد. توابع لگاریتمی در عین پیچیدگی از سادگی برخوردار بوده و با کل طبیعت، سلول ها و زندگی روزمره ما گره خورده اند. بسیار پیش آمده که با این تابع درگیر بوده ایم اما به دلیل عدم شناخت دقیق از آن متوجه وجود و اثر آن نشده ایم. دانشمندان و ریاضیدانان زیادی از گذشته تاکنون در تلاش بوده و هستند که رد پای توابع لگاریتمی و شگفتی های خیره کننده آن را در زندگی ما و همه موجودات زنده و غیر زنده بیابند. اینجاست که می توان به عظمت و اهمیت این تابع دوست داشتنی بیشتر پی برد.
